sábado, 17 de noviembre de 2012

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) FACTORIZACIÓN







2) OPERACIONES CON POLINOMIOS 


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1) SIMPLIFICAR


Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta:
(1) k(a + b) = ka + kb
(2) k(a – b) = ka – kb
Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y otras convendrá lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión.






2) MULTIPLICACIÓN

Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética, las cuales son:


Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) (+) = +
(-) (-) = +
(+) (-) = -
(-) (+) = -


Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(xm) (xn) = xm + n


Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz

 Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los factores.

(4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy


Multiplicación de monomios

Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término

Reglas:

Se multiplica él termino del multiplicando por él termino del multiplicador.


Se suman los exponentes de las literales iguales.


Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado.


Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.


Cuando existen multiplicación más de dos monomios resulta sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener el resultado.

Ejemplos:


En el último ejemplo se multiplican primero los dos primeros factores entre si, sin tocar el resto, luego se multiplica este resultado por el tercer factor, por último se multiplicó este segundo resultado por el cuarto factor obteniéndose el resultado final.








3) DIVISION




                                                                      1                   1
                                                                             3.(x - 2)



Se cambia la división por multiplicación, y se invierte la segunda fracción. Luego se procede como en una multiplicación de fracciones.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2 y x ≠ 5.





4) SUMAS Y RESTAS

(Suma de fracciones con igual denominador)


3


Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2
. 

(Resta de fracciones con igual denominador)




Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya que es signo menos afectará a todos los términos.




CASOS COMBINADOS DE FACTORIZACIÓN

1) CASOS ESPECIALES EN CADA UNO DE LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN 

A) Combinación de los casos III Y IV 


Procedimiento para efectuar este caso especial:

1° Paso: Reconocer que este caso debe tres o cuatro términos.

2° Paso: Reconocer que tres de los términos se le puede sacar o tienen raíz cuadrada.

3° Paso. Formamos con los términos un trinomio cuadrado perfecto entre un paréntesis y factorizamos de acuerdo al caso III ya visto.




Ejemplo :   a2 + 2ab + b2 - c2


 
Paso a paso:
a2 + 2ab + b2 - c2
1. Identificamos que el polinomio cuanta con cuatro términos y a tres de ellos se les puede sacar raíz cuadrada. (son los números que están con potencia).
a
(a2 + 2ab + b2) - c2
2. Entre un paréntesis ubicamos el trinomio cuadrado perfecto y procedemos a factorizar.
a
(a + b)2 - c2
3. Resolvemos el trinomio cuadrado perfecto como ya lo habíamos visto en clase pasada.
 
[  -  ] [  +  ]
4. Abrimos dos corchetes cada uno con un signo + y el otro con signo - y procedemos a colocar los términos.
 
[(a + b) - c][(a + b) + c] 5. (a + b)2 - c2 con este termino factorizado procedemos a llenar el primer corchetes así: raíz cuadrada de (a + b)2 = (a + b), raíz cuadrada de c2 = c. Igualmente llenamos el segundo corchete pero con signo contrario en c.
 
[a + b - c] [a + b + c] 6. Rompemos los paréntesis y dejamos las cifras en los corchetes respetando los signos que quedan.
 
De esta manera hemos aprendido a factorizar la combinación del caso 3 y 4. Los vídeos de ejemplo muestran diferentes opciones. Favor observarlas detenidamente.





B) Factorar una suma de dos cuadrados 





FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

CASOS DE  FACTORIZACIÓN

1) FACTOR COMÚN

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

Ejemplo:

a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

a · b − a · c = a · (b − c)

2 · 5 − 2 · 3 = 2 · (5 − 3)

10 − 6 = 2 · 2

4 = 4









2) FACTOR COMUN EN GRUPOS

 (Todos los términos son positivos)



4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).



 ("Resultado desordenado")


4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)



(Con términos negativos)


4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.








3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.


a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2



a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2




Ejemplos
1x2 − 2x + 1 =

= (x − 1)2

2x2 − 6x + 9 =

= (x − 3)2

3x2 − 20x + 100 =

= (x − 10)2







4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


(Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".


(Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3
     3.x2.(-3)    3.x.(-3)2
        -9x2          27x


Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3




(Con todos los términos negativos)

-x3    -    75x    -    15x2    -    125 = (-x - 5)3

-x                                          -5
       3.(-x)2.(-5)   3.(-x).(-5)2
            -15x2        -75x


Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.


(Con fracciones)

x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)3

x                                        1/2
        3.x2. 1/2    3.x.(1/2)2
          3/2 x2       3/4 x

Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)3 es igual a 1/8.





+


5) DIFERENCIA DE CUADRADOS


(Con términos "compuestos")

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.



 (Con la resta "al revés")

-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)

x       2

El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.




 (Con números que no son cuadrados)

x2 - 3 = (x + ).(x - )

x  

El número 3 no es cuadrado de un número entero ni racional.

(Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6





6) SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


(Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x        2


  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32
    1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16


Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.


(Resta de Potencias Impares)

x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.



(Resta de Potencias Pares)

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.



(Suma de Potencias Pares) 

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización.






7) TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.


(Un primer ejemplo)


x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)


x1,2 =

a = 1
b = 3
c = 2

x1,2 =

x1 =       (con la suma)

x2 =       (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)


Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.


 ("No tiene solución en Reales")


x2 - 6x + 10 = No se factoriza


Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un ejemplo así no se factoriza.



 (La raíz cuadrada no dá exacta)


x2 + x - 1 = [x - ()].[x - ()] = (x + ).(x + )

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", me queda una raíz cuadrada que no dá exacta. Entonces, tengo que trabajar con "Radicales", y las raíces (x1 y x2) son expresiones de dos términos.