FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

CASOS DE  FACTORIZACIÓN

1) FACTOR COMÚN

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

Ejemplo:

a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

a · b − a · c = a · (b − c)

2 · 5 − 2 · 3 = 2 · (5 − 3)

10 − 6 = 2 · 2

4 = 4

2) FACTOR COMUN EN GRUPOS

 (Todos los términos son positivos)



4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).



 ("Resultado desordenado")


4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

(Con términos negativos)

4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO


Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.


a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

Ejemplos
1x2 − 2x + 1 =

= (x − 1)2

2x2 − 6x + 9 =

= (x − 3)2

3x2 − 20x + 100 =

= (x − 10)2







4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


(Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

(Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3

     3.x2.(-3)    3.x.(-3)2

        -9x2          27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.

Y los dos "triple-productos" dan bien.

El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3

(Con todos los términos negativos)

-x3    -    75x    -    15x2    -    125 = (-x - 5)3

-x                                          -5
       3.(-x)2.(-5)   3.(-x).(-5)2
            -15x2        -75x


Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.


(Con fracciones)

x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)3

x                                        1/2
        3.x2. 1/2    3.x.(1/2)2
          3/2 x2       3/4 x

Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)3 es igual a 1/8.





+


5) DIFERENCIA DE CUADRADOS


(Con términos "compuestos")

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.



 (Con la resta "al revés")

-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)

x       2

El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.




 (Con números que no son cuadrados)

x2 - 3 = (x + ).(x - )

x  

El número 3 no es cuadrado de un número entero ni racional.

(Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

6) SUMAS O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


(Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x        2


  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32
    1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16


Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.


(Resta de Potencias Impares)

x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.



(Resta de Potencias Pares)

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.



(Suma de Potencias Pares) 

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización.






7) TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.


(Un primer ejemplo)


x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)


x1,2 =

a = 1
b = 3
c = 2

x1,2 =

x1 =       (con la suma)

x2 =       (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)


Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.


 ("No tiene solución en Reales")


x2 - 6x + 10 = No se factoriza


Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un ejemplo así no se factoriza.



 (La raíz cuadrada no dá exacta)


x2 + x - 1 = [x - ()].[x - ()] = (x + ).(x + )

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", me queda una raíz cuadrada que no dá exacta. Entonces, tengo que trabajar con "Radicales", y las raíces (x1 y x2) son expresiones de dos términos.